J. Bagdonas mokėsi Kauno meno mokykloje ir J. Vienožinskio studijoje. Nuo 1933 m. pradėjo dalyvauti parodose, surengė individualių parodų Lietuvoje (1938, 1992), Kolumbijoje, JAV, Kanadoje. 1938–1940 m. buvo Lietuvos dailininkų sąjungos reikalų valdybos sekretorius. 1941–1944 m. dirbo Vilniaus dailės muziejuje ir dailiųjų amatų mokykloje. 1944 m. pasitraukė į Vokietiją, 1948 m. – į Kolumbiją. Gyvendamas Bogotoje, Kolumbijoje, įsteigė modernios keramikos ir dekoratyvinės skulptūros studiją. Dėstė dailę koledžuose, Nacionalinėje dailiųjų menų akademijoje (1953–1957), Apygardos meno mokykloje (1954–1957), šiose mokyklose įkūrė keramikos skyrius. 1958 m. persikėlė į Vašingtoną. 1960 m. surengė pirmąją abstraktaus meno parodą Baltimorės Lietuvių namuose. 1960 m. Vašingtone įsteigė prestižinę meno galeriją, kurioje rengė amerikiečių dailininkų parodas. 1964 m. persikėlė į Niujorką, kur įsijungė į lietuvišką veiklą. Į Lietuvą pirmąkart trumpam atvyko tik 1992 m. ir Vilniuje, Lietuvos dailės muziejuje, surengė savo tapybos parodą, kuri 1993 m. perkelta į Kauno paveikslų galeriją. 1993 m. dailininko paroda atidaryta kunigaikščio Mykolo Oginskio rūmuose Plungėje, jo paliktos 18 didelių abstrakčių kompozicijų drobių tapo Plungės dailės muziejaus pradžia. 1995 m. Plungės dailės muziejaus fondus papildė dar 90 darbų. 1999 m. grįžo į Lietuvą, gyveno Plungėje.

Dailininkas nutapė figūrinių kompozicijų, peizažų, abstrakcijų. Yra sukūręs skulptūrų, keramikos darbų.